给大家发个福利：
现在你可以在Web AI助手和iMessage AI助手中免费使用Grok 3 Mini (with Thinking)、Grok 3两款模型，只需发送“Grok-mini”或“Grok”切换到相应模型即可使用（Grok 3 Mini对所有用户免费，Grok 3对充值用户免费）👇

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AI助手现已支持GPT-4.1全系列模型（4.1、4.1 mini、4.1 nano），token价格与OpenAI官方相同，且每个模型均内置免费的实时联网搜索👇

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OpenRouter已下线Quasar Alpha，并上线了另一款神秘模型Optimus Alpha。基于Quasar Alpha免费时间只有一周左右，这个Optimus Alpha的免费期估计也不会太长，大家快冲啊😎

AI助手现已添加Optimus Alpha模型，也是完全免费的，不需要注册，不需要充值，只需发送“Optimus-alpha”切换至该模型即可使用👇

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Meta新出炉的Llama 4 Maverick模型已经可以在AI助手中调用，只需发送“Instant”即可切换至该模型

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OpenRouter前两天上线了一款超强的神秘模型Quasar Alpha，坊间猜测是OpenAI即将开源的某个版本。
Web AI助手和iMessage AI助手现已添加此模型，不需要充值，完全免费，没有任何限制，只需发送“Quasar-alpha”切换至该模型即可使用👇

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Web AI助手功能更新：PDF转文字（其他格式的文档也支持）

用法：
只需点击下图红圈内按钮选择文件后"发送"即可。
支持多文件同时上传，支持自定义AI指令。
如果只是转换文字而不需要AI分析，把输入框设定为空即可，转换文字是完全免费的。

顺便说一句，通过这一功能来用AI分析公司财报非常方便😃

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AI助手更新：新增Perplexity的Deep Research深度研究模型。

在iMessage AI助手或Web AI助手中发送“Research”即可切换至深度研究模型。
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Google、OpenAI和Perplexity都把自己的深度研究模型叫做Deep Research，目前只有Perplexity开放了API，所以AI助手用了它家的，定价也和Perplexity官方定价完全一致。

Deep Research模型对于需要深入研究的问题非常有用，比如写开题报告、调研报告、股票分析等等。与DeepSeek推理模型相比，Deep Research的搜索和分析非常详尽，而且每一条引用都是真实的，不存在幻觉问题。

今天是Pi Day，我问Deep Research圆周率怎么计算，下面是它给出的回答👇

RESEARCH:

<think>
嗯，用户问的是“圆周率如何计算”，我需要根据提供的搜索结果来整理答案。首先，我得看看这些搜索结果里提到的方法有哪些。

看了搜索结果，发现提到了几何方法、蒙特卡罗方法、莱布尼茨级数、马青公式，还有现代的高效算法如楚德诺夫斯基算法。还有刘徽和祖冲之的贡献，特别是祖冲之用缀术计算到小数点后七位，这在古代是非常厉害的。

搜索结果的第一个来源是百度百科，但内容可能不全。维基百科和Wikiwand提供了圆周率的基本定义和计算方法。CSDN博客里有具体的代码示例，用公式法和蒙特卡洛方法计算，这可以作为编程实现的例子。维基百科还提到用伽玛函数计算的方法，不过可能比较复杂。另外，KevinGao的博客里提到了面积积分和蒙特卡洛方法的改进，还有马青公式的应用。YouTube视频里提到阿基米德和刘徽、祖冲之使用几何方法，这部分历史背景也很重要。

我需要分类这些方法，按历史发展或方法类型来组织。可能分为古代几何方法、无穷级数、数值积分、蒙特卡洛方法和现代高效算法。另外，代码示例需要整合进去，但要注意不要直接复制，而是解释方法后附上代码片段。需要注意引用正确的来源，比如祖冲之的贡献在多个来源里都有提到，需要注明来源[1][3][6]。

还要注意用户可能需要具体的计算步骤和原理，比如蒙特卡洛方法的基本思想是概率统计，而公式法如莱布尼茨级数的收敛速度较慢，马青公式收敛更快。应该比较这些方法的优缺点，比如几何方法需要大量计算，而现代算法可以在更短时间内得到高精度结果。

最后要确保覆盖所有主要方法，并正确引用每个部分的信息来源。可能需要分成几个部分，每个方法一个小标题，加上代码示例和数学公式。注意用LaTeX格式数学表达式，比如π的莱布尼茨公式写成\( \pi = 4 \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots) \)并在适当的位置引用来源[2][4][6]。

需要检查是否有遗漏的方法，比如伽玛函数的方法是否足够重要，或者是否应该归入其他类别。另外，提到的代码是否有效，是否要解释其原理，比如蒙特卡洛方法的撒点过程，面积与概率的关系。

总之，结构应该是：概述圆周率，然后分方法介绍，每个方法包括历史背景、原理、例子和引用来源，最后总结各种方法的优缺点和应用场景。确保每个部分都有正确的引用，比如祖冲之的工作在来源[1][3][6]，蒙特卡洛方法在[2][5]，现代算法在[4]等。
</think>

圆周率的计算方法经历了数千年的发展，从古代的几何逼近到现代的计算机算法，主要可分为以下几种类型：

## 几何方法
**阿基米德多边形逼近法**（公元前250年）通过计算圆内接和外切正多边形的周长来逼近圆周率。使用正96边形时得出3.14185的近似值[6]。中国古代数学家**刘徽**（263年）采用割圆术计算到3.14159[3][6]，**祖冲之**（480年）将其精度提升至小数点后7位（3.1415926），保持世界纪录近千年[1][3][6]。

## 无穷级数法
利用数学分析中的级数展开式：
- **莱布尼茨公式**：\( \pi = 4 \times \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) \) [4]，但收敛速度慢（需50万项得5位精度）[4]
- **马青公式**（1706年）：\( \pi = 16 \arctan{\frac{1}{5}} - 4 \arctan{\frac{1}{239}} \) 结合泰勒展开，大幅提升计算效率[4]

```python
# 贝利-波尔温-普劳夫公式实现
pi = 0
N = 100
for k in range(N):
pi += 1/pow(16,k)*(4/(8*k+1)-2/(8*k+4)-1/(8*k+5)-1/(8*k+6))
print(f"π ≈ {pi}") # 当N=100时精度达15位[2]
```

## 蒙特卡洛法
通过概率统计模拟：
1. 在单位正方形内随机撒点
2. 统计落在内切圆内的点比例
3. 计算 \( \pi \approx 4 \times \text{圆内点数/总点数} \)

```python
from random import random
DARTS = 10**6
hits = 0
for _ in range(DARTS):
x, y = random(), random()
if x**2 + y**2 <= 1:
hits += 1
print(f"π ≈ {4*hits/DARTS}") # 百万次投点可得3位有效数字[2][5]
```

## 现代高效算法
- **楚德诺夫斯基算法**（1987年）：每项计算可得约14位精度，当前世界纪录计算到\( 10^{13} \)位[4]
- **高斯-勒让德算法**：迭代公式每步精度翻倍
- **伽玛函数法**：利用欧拉反射公式 \( \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \) [1][3]

## 工程优化
- **分布式计算**：如1998年PiHex项目使用1000台电脑计算\( 10^{15} \)位[3]
- **并行优化**：通过GPU加速蒙特卡洛模拟
- **内存管理**：采用分段计算处理超高位运算

不同方法的效率对比：

| 方法类型 | 计算复杂度 | 10位精度所需操作 | 适用场景 |
|----------------|------------|------------------|-------------------|
| 几何逼近 | O(n²) | 约10^4多边形边数 | 历史研究 |
| 莱布尼茨级数 | O(n) | 50万项 | 教学演示 |
| 马青类公式 | O(n log n) | 20项 | 中等精度计算 |
| 楚德诺夫斯基算法| O(1) | 1项得14位 | 破纪录级高精度计算|

现代计算机科学常结合数学优化与硬件加速，如2020年雅虎使用Apache Hadoop集群计算到\( 2 \times 10^{15} \)位[3]，当前最高纪录已突破100万亿位。这些方法不仅推动数学发展，也在密码学、流体力学等领域产生重要应用。

# **引用：**
[1] www.wikiwand.com
[2] blog.csdn.net
[3] zh.wikipedia.org
[4] houbb.github.io
[5] www.kevinbean.top
[6] www.youtube.com

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更新：AI助手的所有模型（包括免费模型）均已内置免费的实时联网搜索

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AI助手的DeepSeek模型现已全线接入联网搜索，搜索不额外收费，懂行的朋友应该知道DeepSeek官方满血R1（不是各家自己部署的满血R1）接入搜索的含金量有多高，DeepSeek官网自己的联网搜索已经坏了好多天了🤣

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AI助手更新：
极速DeepSeek R1推理模型现已内置联网搜索，在AI助手里发送“deepseek-r1-fast”切换模型即可，无需注册，完全免费，速度极快（10秒内完成搜索加推理）

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