-【谁先发明了代数?】
几年前,当我在伦敦皇家学会做关于伊斯兰黄金时期对世界科学做出贡献的公开演讲时, 我轻率地,将代数学的发明归功于波斯数学家花拉子米。 演讲结束后,一位观众走上前来,愤怒争辩说,代数学的历史远早于花拉子米,他表示如果有人应该被称为“代数学之父”,那么应是一个名叫丢番图的希腊数学家。由于当时我并不是这方面的专家,我没有及时提出强有力的反驳意见。
更糟糕的是,我想到,我是否由于对伊斯兰学者有智力上的偏见,或者说我是否曾经低估了古希腊人的伟大成就?这是一种我经常遇到、并下定决心要避免的现象。我决定更仔细地研究这个问题,并在以下内容中描述我所发现的情况。
事实证明,谁先发明了代数?这是一个相当有趣的主题,我相信在学术界之外尚未得到认真探讨。
由于数学问题的普遍性,无论是计算农业用地面积、遗产或税收的财务问题,还是仅仅为了娱乐的解谜计算,代数早在伊斯兰教诞生之前就已经以某种形式存在着,问题在于它是否真的算得上代数学。
从楔形文字考古发现的一个古巴比伦问题(公元前2000年前)写道:“什么数加上它的倒数会得出一个已知数?” 我们今天会用代数学来表达这个谜题,把未知数写为x,已知数写为b。 然后我们可以将问题表达为一个方程:这个方程可以重新排列成x² − bx + 1 = 0的形式,这就是我们所知的二次方程。二次方程的解可以通过一个公式得到,这个公式每个学童都曾被反复灌输过。巴比伦人和希腊人都知道这个公式,但他们没有写出这样的方程式,而是用具体的已知数去计算出单独的具体结果。
假如希腊和巴比伦的数学家在很久以前就已经在解二次方程,那么后面才出生的花拉子米显然没有进行比这更复杂的事情,那么他就不能被认为是代数学领域的创始人。
在他之前的丢番图活跃于公元三世纪的亚历山大。他最著名的作品《算术》解决了大量的数学问题,他使用符号来代表未知量,以及某些算术运算如减法。【丢番图最著名的是处理某类计算问题,这些问题中涉及多个未知数,并且其求出的解永远是整数。 】
一个简单的例子可以用符号表示为 x + 1 = y。 在这里,一个可能的解是 x = 1,因此 y = 2,或者,x = 7 和 y = 8,等等——完全没有唯一的答案,这样的方程被称为不定方程。
最著名的丢番图方程是由现代数论的奠基人皮埃尔·德·费马(1601-1665)强调的那个。 费马写下各种关于丢番图算术的解法、修正和概括的评论。 由于丢番图计算出的解一直都是整数,费马引申出一则逆向思维的评论:“不可能将一个立方数分成两个立方数,或将一个四次方数分成两个四次方数,或者更一般地,将任何大于二次方的幂分成两个相同的幂。 我发现了一个真正巧妙的证明,但这页边缘太窄,无法容纳它。 ”这是数学界最著名的问题之一,被称为费马大定理。
用数学语言表述,费马大定理表示不存在整数解的x、y和z,使得x^n + y^n = z^n,其中n大于2。英国数学家安德鲁·怀尔斯于1995年最终找到了证明,而我本人无意去检查他的方法,因为证明长达百余页,而且他用了七年时间才完成。(内心OS:我也不想看)
那么,让我们回到九世纪的巴格达。我们可以非常确定,花拉子米并不认识丢番图或他的《算术》,因为这本书的第一个阿拉伯语翻译是在花拉子米写成自己的代数证明《代数学》后几十年才翻译出来的。
那他的代数数学的教育源头是什么呢?一些现代历史学家认为,花拉子米使用几何图形来补充和证明他的代数问题。
花拉子米在他的《代数学》中从未解决超过二次(x²)的问题,甚至花拉子米使用的技术,比如通过“配方法”来解决二次方程,并不是最领先的方法;丢番图则处理了更复杂高阶的问题;最后,我突然恍然大悟。实际上,这与是否使用符号、是否有几何证明、方程的复杂程度或解题的难度无关。
真正使得花拉子米与之前的数学家不同的,是一种微妙但至关重要的贡献。【他摒弃了仅仅解决具体问题的实用方法,首次提供了一系列通用的原则和规则,用以处理方程,并通过一套步骤来解决这些方程:算法。 】
通过这样的方法,他让代数能够作为一门独立的学科存在,而不仅仅是操控数字的一种技巧。当花拉子米说“mal”(意为x²)时,他并不是指像16这样的具体平方数结果。 他指的是未知数的平方,他可能会在稍后用具体的数字来解释这种方法的运行,但方法本身被视为一个通用的程序。对花拉子米来说,未知数是一种新的对象,可以被独立操作。
2x + 3x = 5x是关于如何组合未知数的倍数的一种通用陈述,而不仅仅是只对某些x值有效的专属公式。 未知成为一种实体,而不是用来代替数字的无意义占位符号。
这正是花拉子米所做工作的真正力量,也是代数的真正意义。归根结底,丢番图更关注的是数论及其未知数之间的关系,就如同欧几里得关注几何学一样,而花拉子米的文本首次将代数作为独立于算术或几何学的学科来教授。
今天,我们知道将代数符号化写为3x² + 5x =22。
但从描述修辞角度,花拉子米会表达为“未知数的三个平方加上五个未知数等于二十二”。
而在简化代数中,丢番图本人使用的符号。 他会写成Δυγ̅ζ ε(内心OS:写不出来电脑乱码了)̅,其中ζ是他用于表示未知数(他的x)的符号,Δυ是其平方。 在这种表示法中,没有‘+’号,而‘=’符号写作ισ(希腊词‘等于’的前两个字母)。使用丢番图的符号并没有使解方程的任务变得更容易,这远远不能算作完整的符号代数。 实际上,这种晦涩的符号命名法并不比花拉子米的描述性代数更有力,其缩略形式唯一的优势可能就是节省亚历山大的纸草纸。
来源:《智慧探路者:阿拉伯科学的黄金时期 The House of Wisdom How Arabic Science Saved Ancient Knowledge and Gave Us the Renaissance》- Jim Al-Khalili 吉姆·艾尔-哈利利 #RI